+7 (499) 322-30-47  Москва

+7 (812) 385-59-71  Санкт-Петербург

8 (800) 222-34-18  Остальные регионы

Бесплатная консультация с юристом!

Раскрытие неопределенности 1 в степени бесконечность

Данная статья: «Второй замечательный предел» посвящена раскрытию в пределах неопределенностей вида:

Так же такие неопределенности можно раскрывать с помощью логарифмирования показательно-степенной функции, но это уже другой метод решения, о котором будет освещено в другой статье.

Формула и следствия

Формула второго замечательного предела записывается следующим образом: $$ lim_ bigg (1+frac<1>bigg)^x = e, text < где >e approx 2.718 $$

Из формулы вытекают следствия, которые очень удобно применять для решения примеров с пределами: $$ lim_ bigg (1 + frac bigg)^x = e^k, text < где >k in mathbb $$ $$ lim_ bigg (1 + frac<1> bigg)^ = e $$ $$ lim_ bigg (1 + x bigg)^frac<1> = e $$

Стоить заметить, что второй замечательный предел можно применять не всегда к показательно-степенной функции, а только в случаях когда основание стремится к единице. Для этого сначала в уме вычисляют предел основания, а затем уже делают выводы. Всё это будет рассмотрено в примерах решений.

Примеры решений

Рассмотрим примеры решений с использованием прямой формулы и её следствий. Так же разберем случаи, при которых формула не нужна. Достаточно записать только готовый ответ.

Подставим бесконечность в предел и посмотрим на неопределенность: $$ lim_ bigg( frac bigg)^ = bigg(fracbigg)^infty $$

Получили основание равное единице, а это значит уже можно применить второй замечательный предел. Для этого подгоним основание функции под формулу путем вычитания и прибавления единицы:

Смотрим на второе следствие и записываем ответ:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1
Найти предел $ lim_ bigg( frac bigg)^ $
Решение
Ответ
$$ lim_ bigg( 1 + frac<1> bigg)^ = e $$

Замечаем, что основание степени стремится к единице $ 1+frac<1> to 1 $, при $ xtoinfty $, а показатель $ x^2 to infty $. Поэтому можно применить второе следствие. Но сперва, разберемся с показателем и приведем его в нужный вид — сделаем равным знаменателю основания. Для этого умножим его на $ x $ и разделим на него же. Получаем:

Уже теперь применяем формулу и получаем:

Пример 2
Определить предел $ lim_ bigg (1+frac<1>bigg)^ $
Решение
Ответ
$$ lim_ bigg (1+frac<1>bigg)^ = 1 $$

Получаем неопределенность $ 1^infty $. Для её раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Но у нас $ xto 1 $. Как быть? Выполняем замену $ y = x-1 $, тогда $ yto 0 $, при $ x to 1 $. Из замены следует, что $ x = y + 1 $.

Пример 3
Вычислить предел $ lim_ (6-5x)^frac $
Решение
Ответ
$$ lim_ (6-5x)^frac = e^ <-5>$$

Находим предел основания и видим, что $ lim_ frac<3x^2+4> <3x^2-2>= 1 $, значит можно применить второй замечательный предел. Стандартно по плану прибавляем и вычитаем единицу из основания степени:

Подгоняем дробь под формулу 2-го замеч. предела:

Теперь подгоняем степень. В степени должна быть дробь равная знаменателю основания $ frac<3x^2-2> <6>$. Для этого умножим и разделим степень на неё, и продолжим решать:

Предел, расположенный в степени при $ e $ равен: $ lim_ frac<18x> <3x^2-2>= 0 $. Поэтому продолжая решение имеем:

Пример 4
Решить предел $ lim_ bigg (frac<3x^2+4> <3x^2-2>bigg) ^ <3x>$
Решение
Ответ
$$ lim_ bigg (frac<3x^2+4> <3x^2-2>bigg) ^ <3x>= 1 $$

Разберем случаи, когда задача похожа на второй замечательный предел, но решается без него.

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем:

А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как $ frac<1><3>ne 1 $

Продолжаем вычисление предела:

Пример 5
Найти $ lim_ bigg ( frac <3x+4>bigg )^ $
Решение
Ответ
$$ lim_ bigg ( frac <3x+4>bigg )^ = 0 $$

Начинаем с проверки равен ли предел основания единице. Имеем:

А это значит, что формулировка второго замечательного предела не соответствует данной задаче, так как $ 3 ne 1 $

Продолжаем вычисление предела:

Пример 6
Найти $ lim_ bigg ( frac<3x+4> bigg )^ $
Решение
Ответ
$$ lim_ bigg ( frac<3x+4> bigg )^ =infty $$

В статье: «Второй замечательный предел: примеры решений» была разобрана формула, её следствия и приведены частые типы задач по этой теме.

Второй замечательный предел

Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:

Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:

  1. Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
  2. Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $frac<1>$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.

Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+infty$ или $-infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.

Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.

Сразу отметим, что основание степени (т.е. $frac<3x+1><3x-5>$) стремится к единице:

При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $lim_(4x+7)=infty$.

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. Для начала отметим, что в основании степени формулы (1) расположено выражение $1+frac<1>$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $frac<3x+1><3x-5>$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $frac<3x+1><3x-5>$ под вид $1+frac<1>$. Для начала прибавим и вычтем единицу:

Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что

Продолжим «подгонку». В выражении $1+frac<1>$ формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+frac<6><3x-5>$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:

Итак, основание степени, т.е. $1+frac<1><6>>$, подогнано под вид $1+frac<1>$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:

Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $frac<3x-5><6>$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $frac<6><3x-5>$. Итак, имеем:

Выражение $lim_left(1+frac<1><6>>right)^<6>>$ полностью соответствует записи второго замечательного предела согласно формуле (1). Следовательно, $lim_left(1+frac<1><6>>right )^<6>>=e$. Учитывая это, получим:

Отдельно рассмотрим предел в степени:

Учитывая то, что степень стремится к 8, будем иметь:

Ответ получен, $lim_left(frac<3x+1><3x-5>right)^<4x+7>=e^8$. Полное решение без пояснений и промежуточных выкладок выглядит так:

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $xto<1>$, т.е. $lim_>(7-6x)=7-6cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $frac<3x-3>$, получаем: $lim_>frac<3x-3>=infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $xto<1>$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $xto<1>$, то $to<0>$, т.е. $yto<0>$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $yto<0>$, получим:

Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $frac<1>$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $frac<1><-6y>$. Домножим показатель степени на выражение $frac<1><-6y>$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $frac<-6y><1>=-6y$:

Итак, $lim_>biggl(7-6xbiggr)^<3x-3>>=frac<1>$. Полное решение без пояснений таково:

Так как $lim_>(cos<2x>)=1$ и $lim_>frac<1>>=infty$ (напомню, что $sinto<0>$ при $uto<0>$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:

Так как $sin^2x=frac<1-cos<2x>><2>$, то $cos<2x>-1=-2sin^2x$, поэтому:

Подробное описание того, как находить предел $lim_>frac>$ дано в соответствующей теме.

Так как при $x>0$ имеем $ln(x+1)-ln=lnleft(fracright)$, то:

Раскладывая дробь $frac$ на сумму дробей $frac=1+frac<1>$ получим:

Так как $lim_>(3x-5)=6-5=1$ и $lim_>frac<2x>=infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:

Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=frac<1>$. Разумеется, ответ будет тем же:

Выясним, к чему стремится выражение $frac<2x^2+3><2x^2-4>$ при условии $xtoinfty$:

Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:

Неопределенности пределов

Очень часто при вычислении пределов функций в какой-либо точке в результате упрощения получаются выражения, не несущие какой-либо информации об этой функции. Такие выражения носят название неопределённостей.

Виды неопредлённостей

$frac<0><0>$ — деление нуля на нуль;

$frac$ — деление бесконечности на бесконечность;

$0 cdot infty$ — умножение нуля на бесконечность;

$1^$ — единица, возведённая в степень бесконечности;

$(infty-infty$) — разность бесконечностей;

$0^0$ — нуль в нулевой степени;

$infty^0$ — бесконечность в степени 0.

Неопределённости вида $frac<0><0>$ и $frac$ называются основными и для их раскрытия применяется правило Лопиталя, тогда как остальные неопределённости сводятся путём тождественных преобразований также к основным или решаются иными способами.

Раскрытие неопределенностей

Сам по себе термин «неопределённость» не означает, что предела не существует. Во многих случаях для того чтобы прийти к конечному ответу можно использовать упрощения, правило Лопиталя и другие способы раскрытия математических неопределенностей.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Например, выражение вида $frac$ можно упростить до просто $x$ при любых значениях $x$, кроме нуля. Таким образом, предел этого выражения при приближении $x$ к нулю есть не что иное как $x$, а сам $x$ стремится к нулю, следовательно:

Наиболее универсальным способом для раскрытия неопределённостей является правило Лопиталя, но к нему не всегда возможно прибегнуть. Как было упомянуто выше, его возможно применять лишь к двум видам неопределённостей, тогда как остальные необходимо для начала привести к одной из форм основных неопределённостей.

В целом, при раскрытии неопредлённостей возможно использовать различные тождественные преобразования, замечательные пределы и замену одного бесконечно малого выражения на другое, подобное ему.

Рассмотрим подробнее замену бесконечно малых выражений на аналогичное.

Таблица эквивалентных бесконечно малых выражений

Если две переменные $α$ и $β$ сходятся к нулю в одной точке и предел их отношения в этой точке равен единице, то эти переменные называются эквивалентными бесконечно малыми переменными.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Таблица эквивалентных бесконечно малых функций:

Один в степени бесконечность

Рассмотрим, как раскрывается неопределенность один в степени бесконечность в другой форме записи 2 замечательного предела. В этом случае фактически имеем неопределенность один в степени один на ноль.

Второй замечательный предел иначе можно записать так:

а если α=f(x), при условии f(x)→0, при x→0, имеем:

Рассмотрим на примерах, как раскрыть неопределенность один в степени бесконечность в этом случае.

Получили неопределенность один в степени один на ноль. Поскольку

Чтобы воспользоваться модификацией второго замечательного предела и раскрыть неопределенность один в степени бесконечность, рассуждаем так:

(не забываем о требовании f(x)→0, при x→0).

Чтобы избавиться от неопределенности ноль на ноль в показателе степени, в числителе выносим за скобки общий множитель x и сокращаем дробь на x:

Будьте внимательны! Если в примере нет неопределенности, предел вычисляем непосредственно:

Неопределенность вида ноль на ноль в показателе степени — первый замечательный предел:

Статья написана по материалам сайтов: math1.ru, spravochnick.ru, www.matematika.uznateshe.ru.

Это интересно:  Общая характеристика объектов гражданских прав
Помогла статья? Оцените её
1 Star2 Stars3 Stars4 Stars5 Stars
Загрузка...
Добавить комментарий

Adblock detector